РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2346 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Разные задачи

Угол ASB правильной треугольной пирамиды SABC равен $2 арктангенс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ Найдите значение выражения $дробь: числитель: 66 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби ,$ где $бета$   — угол между боковым ребром SA и плоскостью основания ABC, $\varphi$   — линейный угол двугранного угла SABC.

Решение. Пусть точка O  — центр основания, точка M  — середина ребра AB. Тогда $\angle SAO = бета$ $\angle SMO = \varphi.$ Пусть SM  =  3x, значит:

$AM = SM умножить на тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ASB правая круглая скобка равносильно AM = 3x умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x,$ $AM = SM умножить на тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ASB правая круглая скобка равносильно$
$равносильно AM = 3x умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x,$

следовательно,

$AO = дробь: числитель: AM, знаменатель: косинус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$

$OM = дробь: числитель: AO, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

По теореме Пифагора в треугольнике AMS:

$AS = корень из: начало аргумента: AM в квадрате плюс SM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2x в квадрате плюс 9x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента x.$ $AS = корень из: начало аргумента: AM в квадрате плюс SM в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 2x в квадрате плюс 9x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента x.$

Найдем значение искомого выражения:

$дробь: числитель: 66 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: AO в квадрате , знаменатель: AS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: AO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: AS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 11x в квадрате умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: дробь: числитель: 22, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: 72, знаменатель: 22 конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: 36, знаменатель: 11 конец дроби = 6 умножить на 36 = 216.$ $дробь: числитель: 66 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: AO в квадрате , знаменатель: AS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: AO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: AS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 11x в квадрате умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: дробь: числитель: 22, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: 72, знаменатель: 22 конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: 36, знаменатель: 11 конец дроби = 6 умножить на 36 = 216.$ $дробь: числитель: 66 умножить на косинус в квадрате бета , знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: AO в квадрате , знаменатель: AS в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: OM в квадрате , знаменатель: SM в квадрате конец дроби конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: AO в квадрате умножить на SM в квадрате , знаменатель: AS в квадрате умножить на OM в квадрате конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате умножить на 9x в квадрате , знаменатель: 11x в квадрате умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: дробь: числитель: 22, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = 66 умножить на дробь: числитель: 72, знаменатель: 22 конец дроби =$
$= 66 умножить на дробь: числитель: 36, знаменатель: 11 конец дроби = 6 умножить на 36 = 216.$

Ответ: 216.

Ответ: 216

2346

216

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2346	216