РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1055 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.10\. Рациональные неравенства, 3\.16\. Неравенства указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Неравенства с модулем

Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства $дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс |24 минус x| конец дроби больше |24 минус x|.$

Решение. Пусть $t = |24 минус x|,$ $t больше или равно 0.$ Имеем:

$система выражений дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше t, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений 16 больше t в квадрате плюс 6t, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате плюс 6t минус 16 меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений t минус 2 меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно 0 меньше или равно t меньше 2.$ $система выражений дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше t, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений 16 больше t в квадрате плюс 6t, t больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений t в квадрате плюс 6t минус 16 меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений t минус 2 меньше 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно 0 меньше или равно t меньше 2.$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$0 меньше или равно |24 минус x| меньше 2 равносильно |24 минус x| меньше 2 равносильно минус 2 меньше 24 минус x меньше 2 равносильно 22 меньше x меньше 26.$

Неравенство имеет три целых решения  — числа 23, 24 и 25. Наибольшее из них равно 25, поэтому искомое произведение равно  $25 умножить на 3 = 75.$

Ответ: 75.

Ответ: 75

1055

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.10\. Рациональные неравенства, 3\.16\. Неравенства указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1055	75