Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка де­ла­ем вывод, что MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а, зна­чит, тре­уголь­ни­ки AMN и ABC по­доб­ны. Таким об­ра­зом,

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ре­ше­ние. Упро­стим вы­ра­же­ние:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ре­ше­ние. Най­дем боль­шее число: Таким об­ра­зом, мень­шее число

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ре­ше­ние. Сумма смеж­ных углов равна 180° или Най­дем смеж­ный угол: или 48°.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку за­дан­ная функ­ция ли­ней­на, а её гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси Oy, дан­ная функ­ция имеет вид Пря­мая про­хо­дит через точку A с ко­ор­ди­на­та­ми от­сю­да b  =  4. По­это­му k + b  =  4.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ре­ше­ние. Не­об­хо­ди­мо найти такую пару, сумма квад­ра­тов чисел ко­то­рой не равна 12. Един­ствен­ная такая пара  —

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Ре­ше­ние. Най­дем ко­си­нус угла, внеш­не­го к углу ABC:

Ко­си­ну­сы смеж­ных углов про­ти­во­по­лож­ных зна­ков, по­это­му

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ре­ше­ние. Вы­чис­лим длину каж­дой сто­ро­ны:

Длина вто­рой сто­ро­ны a  =  4 · 2,5  =  10.

Длина тре­тьей сто­ро­ны может при­ни­мать зна­че­ния: а также так как длина тре­тьей сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух дру­гих сто­рон.

Пе­ри­метр  — сумма длин всех сто­рон, имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный ко­рень до­сти­га­ет­ся при

Наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень до­сти­га­ет­ся при

Таким об­ра­зом, сумма кор­ней равна:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ре­ше­ние. Под­ста­вим зна­че­ние ар­гу­мен­та x  =  −6 в каж­дую функ­цию и про­ве­рим ра­вен­ство:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

Таким об­ра­зом, зна­че­ние ар­гу­мен­та, рав­ное −6, яв­ля­ет­ся нулем для функ­ций 1, 2 и 5.

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 2 и 5.

Ре­ше­ние. Введём обо­зна­че­ния как на ри­сун­ке. Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов: от­ку­да Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHC имеем:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние. Можно было бы за­ме­тить, что угол BCA равен 30°, а катет, про­ти­во­ле­жа­щий углу 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

Таким об­ра­зом, наи­боль­шим целым ре­ше­ни­ем не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся число −12.

Ответ: −12.

Ре­ше­ние. Пусть AB равно x. По­сколь­ку в тра­пе­цию впи­са­на окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равна т. е. Сумма углов в рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не равна 180°, от­ку­да сле­ду­ет, что сумма углов, дан­ная в усло­вии  — есть сумма углов при ос­но­ва­нии AD, ко­то­рые равны.

Про­ве­дем из вер­ши­ны B вы­со­ту BH. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH угол BAH равен 30°, от­ку­да сле­ду­ет, что По­это­му из пло­ща­ди тра­пе­ции най­дем x:

Таким об­ра­зом, пе­ри­метр тра­пе­ции равен

Ответ: 46.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия имеет вид:

Вто­рая гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия имеет вид:

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия имеет вид:

За­пи­шем ха­рак­те­ри­сти­че­ские свой­ства гео­мет­ри­че­ской и ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сий:

Тогда сумма ис­ход­ных чисел равна 21.

Ответ: 21.

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Корни чис­ли­те­ля: Ко­рень зна­ме­на­те­ля: По­это­му:

Среди целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства −5, −4, −3, −1, 0, 1, 4. Их сумма равна −8.

Ответ: −8.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тре­уголь­ник ABC. Пусть сто­ро­на AB равна x. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты равны, по­это­му, рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник ABH, где AH  — вы­со­та, имеем:

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник Про­ве­дем вы­со­ту SK, тогда: Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим ше­сти­уголь­ник ABCDEF с мень­шей диа­го­на­лью AC. Мень­шая диа­го­наль ше­сти­уголь­ни­ка в раз боль­ше его сто­ро­ны. По­это­му сто­ро­на равна 11, пе­ри­метр  — 66.

Ответ: 66.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние при усло­вии :

Сумма кор­ней равна −3 + 2 + 0 + −2 = −3.

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. А)  За­ме­тим, что 19% от про­дан­ных ово­щей со­став­ля­ет ка­пу­ста. Тогда 200 кг · 0,19  =  38 кг.

Б)  Кар­то­фе­ля было про­да­но 0,21 · 200 кг  =  42 кг, а по­ми­до­ров 0,28 · 200 кг  =  56 кг. Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

В)  Свёклы было про­да­но 0,14 · 200 кг  =  28 кг, а лука 0,1 · 200 кг  =  20 кг. Ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

Ответ: А5Б1В2.

Ре­ше­ние. 1.  Не­вер­но. По опре­де­ле­нию арк­ко­си­ну­са числа

2.  Верно. По опре­де­ле­нию арк­ко­си­ну­са числа.

3.  Верно. По опре­де­ле­нию арк­си­ну­са числа.

4.  Не­вер­но. По опре­де­ле­нию арк­си­ну­са числа

5.  Не­вер­но. Так как

6.  Верно. По опре­де­ле­нию арк­ко­си­ну­са числа

Ответ: 236.

Ре­ше­ние. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния:

На ОДЗ имеем:

Вто­рой ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ, по­это­му ответ −5.

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. Най­дем функ­цию при x < 0, учи­ты­вая то, что функ­ция не­чет­ная, т. е.

Най­дем точки пе­ре­се­че­ния с пря­мой y  =  12:

Таким об­ра­зом, уве­ли­чен­ное в 9 раз про­из­ве­де­ние абс­цисс равно

Ответ: −143.

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим 50 на про­стые со­мно­жи­те­ли:

Оче­вид­но, что a так же будет крат­но дан­ным чис­лам. Более того, чтобы НОД был равен нужно про­ве­рить числа, боль­шее проcтых со­мно­жи­те­лей вдвое. Про­ве­рим числа 4, 10, 20, 50, 100. После про­вер­ки по­ни­ма­ем, что нам под­хо­дят числа 4, 20, 100. Сумма этих чисел равна 124.

Ответ: 124.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем тан­генс:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой :

В свою оче­редь,

По­это­му:

До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на Тогда:

Так как имеем тогда

За­ме­тим, что в зна­ме­на­те­ле По­это­му Тогда:

Тогда, под­став­ляя в ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

Ответ: −9.

Ре­ше­ние. Пусть x  — на­чаль­ная кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра, y  — на­чаль­ная кон­цен­тра­ция вто­ро­го рас­тво­ра, m  — масса от­ли­то­го рас­тво­ра. До пе­ре­ли­ва­ния масса спир­та в 1-ом со­су­де равна во вто­ром  — После пе­ре­ли­ва­ния масса спир­та в 1-ом со­су­де равна во вто­ром  — Так как кон­цен­тра­ции стали оди­на­ко­вы­ми, а объёмы от­но­сят­ся как 3:7. Тогда:

Со­глас­но усло­вию на­чаль­ные кон­цен­тра­ции пер­во­го и вто­ро­го рас­тво­ров раз­лич­ны, сле­до­ва­тель­но, Тогда

Ответ: 210.

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей: Обо­зна­чим AB за x, тогда Тогда: при этом По­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO имеем: Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC: В от­ве­те не­об­хо­ди­мо при­ве­сти зна­че­ние вы­ра­же­ния 5S, т. е.

Ответ: 54.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим вы­ра­же­ние в пер­вых скоб­ках:

Рас­смот­рим вы­ра­же­ние во вто­рых скоб­ках:

За­ме­тим, что Тогда имеем:

Тогда:

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

По­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы не­ра­венств:

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние си­сте­мы не­ра­венств  — число −12, ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных ре­ше­ний си­сте­мы  — 9, ис­ко­мое про­из­ве­де­ние равно −108.

Ответ: −108.

Ре­ше­ние. Пусть A, B, C  — про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих.

По усло­вию вто­ро­му и тре­тье­му ра­бот­ни­кам не­об­хо­ди­мо вре­ме­ни на вы­пол­не­ние всей ра­бо­ты, в то время, как пер­вый за часть этого вре­ме­ни вы­пол­нит ра­бо­ты.

По усло­вию пер­во­му и тре­тье­му ра­бот­ни­кам не­об­хо­ди­мо вре­ме­ни на вы­пол­не­ние всей ра­бо­ты, в то время, как вто­рой за часть этого вре­ме­ни вы­пол­нит ра­бо­ты.

На­ко­нец, по усло­вию пер­во­му и вто­ро­му ра­бот­ни­кам не­об­хо­ди­мо вре­ме­ни на вы­пол­не­ние всей ра­бо­ты, в то время, как тре­тий за часть этого вре­ме­ни вы­пол­нит ра­бо­ты.

По­сколь­ку ска­за­но, что, ра­бо­тая по­оче­ред­но, трое ра­бо­чих вы­пол­ни­ли всю ра­бо­ту имеем:

За­ме­тим, что:

Если бы ра­бо­чие ра­бо­та­ли вме­сте од­но­вре­мен­но с про­из­во­ди­тель­но­стью то они вы­пол­ни­ли бы ра­бо­ту за:

в то время, как ре­аль­но она была вы­пол­не­на за По­это­му, ра­бо­тая вме­сте ра­бо­та была бы вы­пол­не­на в раза быст­рее. В от­ве­те будет число

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMH и ASO: от­ку­да Точка O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, в нее про­еци­ру­ет­ся вы­со­та SO. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a, тогда вы­со­та Из свой­ства бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке SLA:

Тре­уголь­ник SLO  — пря­мо­уголь­ный,

Тогда

Ответ: 28.