Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1932
i

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 5 плюс 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 5 мень­ше или равно 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfracx минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть  дробь: чис­ли­тель: x минус 8, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби = a, тогда

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a плюс 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a мень­ше или равно 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a .

Умно­жим обе части не­ра­вен­ства на  30 в сте­пе­ни a боль­ше 0, по­лу­чим:

 2 в сте­пе­ни a плюс 3 мень­ше или равно 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни a .

Левая часть не­ра­вен­ства мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния, а пра­вая мо­но­тон­но убы­ва­ет. Сле­до­ва­тель­но, при  a = 0 левая и пра­вая части не­ра­вен­ства равны, то есть не­ра­вен­ство верно при  a мень­ше или равно 0. Тогда

 дробь: чис­ли­тель: x минус 8, зна­ме­на­тель: x плюс 5 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 5 мень­ше x мень­ше или равно 8.

Наи­мень­шее целое ре­ше­ние равно –4, а ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства  — 13. Про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го це­ло­го ре­ше­ния на ко­ли­че­ство всех целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства равно –52.

 

Ответ: − 52.


Аналоги к заданию № 1900: 1932 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2022
Сложность: III